3.7 不定积分、定积分及其应用 练习题 不定积分、定积分及其应用 练习题

3.6 定积分的几何应用 一、利用微元法求解定积分应用问题 {mtitle title="定积分的几何应用"/}二、求平面图形的面积 {callout color="#f0ad4e"}本题说明：当平面图形上方曲线（或下方曲线）发生改变时，应分块求面积，使分块后每一小块的上方曲线是唯一的，下方曲线也是唯一的。{/callout}三、求平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 {message type="info" content="本公式只适用平面图形完全紧贴x轴时，平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。"/}{callout color="#f0ad4e"}当平面图形非全部紧贴x轴时，可采用“打补丁”的方法，构造“平面图形D + 补丁”全部紧贴x轴，所求体积 = “平面图形D + 补丁”旋转的体积 - “补丁”旋转的体积。{/callout}{card-default label="补丁打法：" width="100%"}过平面图形D的左、右两端点分别作x轴的垂线。垂线与平面图形D之间的空白部分就是“补丁”。{/card-default}{card-default label="解法：" width="100%"} ① 在xoy平面上画出平面图形D的草图 ② 打补丁 ③ 所求体积 = “D + 补丁”旋转的体积 - “补丁”旋转的体积{/card-default}{card-default label="旋转半径R怎么找？" width="100%"}从x轴出发向上，顶到最上方，y多大，半径就多大{/card-default}{callout color="#f0ad4e"}开方求y时，曲线上半部分根号前取 + ，曲线下半部分根号前取 - 。开方求x时，曲线右半部分根号前取 + ，曲线左半部分根号前取 - 。{/callout}四、求平面图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积 {message type="info" content="本公式只适用平面图形完全紧贴y轴的情形。"/}{callout color="#f0ad4e"}为拓宽公式使用范围，采用打补丁的方法。补丁打法：过图形的上、下两个端点分别作y轴的垂线，补丁是垂线和原图形之间的空白部分。这样“图形 + 补丁”全部紧贴y轴了。（可以用旋转体体积了）所求体积 = “原图形 + 补丁”旋转体的体积 - 补丁旋转体的体积。旋转半径求法：从y轴出发向右顶到图形最右的边，x多大，旋转半径就多大。{/callout}备用链接

3.5 无穷区间上的广义积分（反常积分） 一、无穷区间上的广义积分的定义 {callout color="#f0ad4e"}见到无穷换字母，字母趋近无穷取极限，求出积分求极限（先算积分后求极限），极限存在称收敛（收敛于极限值），没有极限叫发散。{/callout}备用链接

3.4 定积分等式的证明 一、所证式两端的积分区间相同，但被积函数不同 二、所证式两端的积分区间不同，但两积分区间存在包含关系 备用链接

3.3 定积分的性质与计算 一、定积分的性质 二、定积分的计算 {callout color="#f0ad4e"}计算定积分时，所用的积分方法和对应的不定积分的积分方法完全相同。{/callout}三、计算定积分的注意事项 {callout color="#f0ad4e"}换元必换限{/callout}{callout color="#f0ad4e"}对称区间的积分：区间的中心点是x=0、积分上、下限是两个相反数{/callout}{callout color="#f0ad4e"}当积分上下限是两个相反数时，应注意观察被积函数中是否有奇函数部分？若有则可直接将奇函数部分剔除，再看剩下部分是否可以用定积分的几何意义求出结果。{/callout}{callout color="#f0ad4e"}n!!——不超过n且与n有相同奇偶性的全体自然数的乘积。如 8!! = 8 x 6 x 4 x 2 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1{/callout}备用链接

3.2 积分的基本方法 一、直接积分法 二、第一种换元积分法（凑微分法） {callout color="#f0ad4e"}对于正弦、余弦函数奇次方的积分方法： 拿下一次用于凑微分，剩下的偶次方用sin2 x + cos2 x = 1改变三角函数，求得统一对于正弦、余弦函数偶次方的积分方法： 用半角公式降次后再积分{/callout}{callout color="#f0ad4e"}对于复杂部分求导，看求导结果与被积函数当中的其它部分有什么关系{/callout}三、第二种换元积分法 四、分部积分法 备用链接

3.1 不定积分的概念、性质与基本积分公式 {callout color="#f0ad4e"}求导与不定积分是一对逆运算，两种相遇相互抵消要把f(x)在积分号下“解放”出来，求导即可要把f(x)从求导号下“解放”出来，积分即可{/callout}{callout color="#f0ad4e"}求导号在外，d后面只能是x求导号在内，d后面必须是 φ (x)，和f'[φ(x)]中的φ (x)完全一致{/callout}备用链接